Filtri per sistemi di altoparlanti

[MarioBon]

In questo 3D si mostra un modo non convenzionale di valutare i filtri cross over per altoparlanti.
Cominciamo con il filtro più semplice: il filtro del primo ordine.
Distinguiamo:
- la risposta acustica: la risposta dell'altoparlante
- la risposta elettrica: la risposta dal filtro
- la risposta totale: la composizione della risposta elettrica e acustica (l'unica che conta)
- la risposta in potenza: della quale nessuno parla.

Ricordiamo che:
- la risposta in frequenza è il modulo della funzione di trasferimento
- la risposta in fase è la fase della funzione di trasferimento. Si misura in gradi
- il ritardo di gruppo è la derivata della fase e rappresenta un tempo misurato in secondi (o milli secondi)

Diciamo subito che, affinché la risposta totale sia uguale o almeno somigli, alla risposta elettrica la risposta dell'altoparlante deve essere piatta (e a fase minima) per un decade prima e una decade dopo la frequenza di taglio. Anche si ci accontentiamo di una ottava invece di una decade la condizione molto difficilmente può essere rispettata.
Questo è vero in generale. Diciamo che stiamo parlano in linea teorica.

Il grafico che segue mostra la risposta in frequenza ed in fase di un filtro del primo ordine.

Osservando la fase si vede che la differenza tra le due curve (del passa basso e del passa alto) è sempre di 90°: le due vie sono in quadratura.
In questo caso, particolarmente semplice, vediamo anche la matematica. La quadratura delle due vie produce un curioso risultato: se le due vie sono in fase o in controfase il modulo della risposta non cambia (la risposta in frequenza è sempre piatta).
Nel caso le vie siano in controfase la somma del passa alto e del passa basso diventa un fitro all-pass che introduce una variazione di fase compresa da 0 a 90°.

Sempre osservando i grafici delle fase si vede che le due curve (passa alto e passa basso) decrescono con la frequenza (sono decrescenti o meglio non crescenti).
Il ritardo di gruppo è la derivata (rispetto alla frequenza) della fase.
Quando una funzione decresce la sua derivata è negativa. Questo significa che i ritardi di gruppo della sezione passa alto e passa basso sono entrambe caratterizzati da ritardo di gruppo "in ritardo". Questo anche se la fase del passa alto è "in anticipo" alla basse frequenze. La fase ha un significatto, il ritardo d gruppo ha un altro significato.

Hpb(s)-Hpa(s) rappresenta un filtro All pass che altera la fase ma non l'ampiezza.

[MarioBon]

Veniamo ora alla risposta in potenza.
Nel filtri del primo ordine l'incrocio avviene nel punto a -3 dB dove l'ampiezza vale 0.707.
All'incrocio quando i due filtri si sovrappongono, se non teniamo conto della fase, otteniamo 0.707+0.707=1.414 ovvero +3dB.

Quindi in asse la risposta in frequenza è piatta (grazie allo svasamento di 90°) ma da qualche parte dello spazio dove la differenza di fase tra le due sorgenti vale 0° (o multipli di 360°), l'ampiezza vale +3dB.

Se il filtro viene impiegato per dividere il segnale tra due amplificatori il segnale è monodimensionale e la risposta è quella riportata nei grafici che si trovano in tutti i libri. Quando però abbiamo a che fare con gli altoparlanti il campo acustico generato ha tre dimensioni e le cose cambiano (le relazioni di fase tra le vie dipendono dal punto di misura).
La curva di Potenza (primo grafico in alto più spesso in blu) riporta la somma dei modulo delle risposta di passa alto e passa basso. Indica che, da qualche parte delle spazio, il livello SPL è maggiore che in asse.

Quindi il filtri del primo ordine simmetrico:
- sono difficili da realizzare in pratica
- applicano una attenuazione blanda (6 dB/ott) con ampia sovrapposizione tra le vie
- passa alto e passa basso sono in quadratura
- il massimo SPL non corrisponde all'asse principale di radiazione

Se trovate qualche cosa di peggio segnalatelo.
Vanno annotata due cose:

1) alla frequenza di incrocio l'attenuazione deve essere di 6 dB (0.5+0.5=1) questa è una condizione affinché il massimo SPL si trovi sull'asse principale di radiazione.

2) quando si valuta un filtro calcolare anche la potenza come somma dei moduli della risposta delle varie vie. Nel caso ideale la risposta in potenza (somma dei moduli) coincide con il modulo della risposta in frequenza (modulo della somma).

Se interessa una bibliografia vi rimando direttamente al Teorema di Pitagora (vecchio ma sempre valido).

[MarioBon]

Passiamo al secondo ordine. Il primo grafico mostra ampiezza e fase per un filtro Butterworth (Q=707). Si vede un bel buco e la risposta in potenza che aumenta nella zona dell'incrocio che sta a +3dB. Il secondo grafico mostra la somma di passa alto e passa basso in rosso con un bel buco per un Butterworth con Q=0.5. Il terzo grafico è un LR del secondo ordine che differisce dal Butterworh perché la fase del passa alto è stata invertita. La risposta in potenza dell'LR è piatta e questo è un vantaggio..
Il buco è sparito ma la fase totale non è nulla.



Per chi è interessato all'aspetto matematico riporto i calcoli. Il denominatore della funzione di trasferimento è caratterizzata dal fattore di merito Q.

[MarioBon]

L'ultima espressione matematica del post precedente rappresenta il filtro del secondo ordine con filler drive. Il filler drive è un passa banda (una terza via) che serve per rendere il numeratore uguale al denominatore della funzione di trasferimento in modo che si semplifichino e la funzione diventa uguale a uno (indipendente dalla frequenza e con fase nulla).
Questa soluzione è stata usata da Chario.

Nella figura si vede la risposta del passa alto, del passa basso e del filler. Si vede che la presenza del filler comporta un aumento non indifferente della risposta in potenza nella regione del taglio.

La conclusione è che la ricerca di una funzione di trasferimento perfetta come ampiezza e fase (sull0asse principale di radiazione) comporta un sbilanciamento nella risposta in potenza.
Il filtri LR dello stesso ordine restituisce una risposta in frequenza quasi perfettamente piatta, una risposta in potenza quasi perfettamente piatta ma una risposta in fase che varia da 0 a 180° (su due decadi),

Se è vero che le variazioni di fase imposte da filtri all-pass non sono udibili il filtro LR appare preferibile.

[MarioBon]

I filtri LR hanno due vantaggi:
- la risposta in frequenza ed il potenza è quasi piatta
- la zona interessata alla sovrapposizione (ed alle variazioni di fase) si riduce con l'ordine del filtro.

la figura mostra ul LR dell'ottavo ordine. Si confronti la risposta della differenza con quella del filtro del 2° ordine mostrato nei post precedenti.



E' possibile realizzare filtri LR passivi di qualsiasi ordine. E' molto più comodo usare dei filtri attivi, a livello di costi non mi stupirebbe se un filtro elettronico costasse meno di un filtro passivo. Sicuramente è più preciso, non ha perdite e le tolleranze sono inessenziali. Queste quelità sono comuni a tutti i filtri attivi digitali.

Nota: tutto quanto detto fin qui vale se gli altoparlanti sono allineati nel tempo ovvero se è stata compensata la differenza di tempo di volo tra i singoli altoparlanti ed il microfono di misura.

[MarioBon]

Nel filtro LR del secondo ordine la fase di una uscita (del pa o del pb) deve essere invertita
Nel filtro LR del quarto ordine la fase viene rispettata
Nel filtro LR del sesto ordine la fase di una uscita (del pa o del pb) deve essere invertita
Nel filtro LR dell'ottavo ordine la fase viene rispettata
Conviene scegliere i filtro di ordine quattro e otto.

La risposta in frequenza dei filtri LR sembra piatta ma non lo può essere. Le variazioni però sono minime. Ni grafici proposti non si vedono perché la risoluzione grafica è bassa. Il filtro LR con la fase meno complicata è quello del quarto ordine.

Dato che, nel mondo reale, gli altoparlanti non hanno risposta in frequenza piatta, nessuno impedisce di progettare dei filtri che, oltre a filtrare, equalizzano la risposta e compensano i livelli SPL di emissione. Più difficile realizzare fitri all pass. Ne segue che conoscere le caratteristiche generali dei filtri e le classi canoniche sia necessario anche se, in pratica, nei filtri passivi non vengono mai utilizzate.
Diverso discorso per i filtri attivi dove le tre funzioni (equalizzazione, filtro e livello cui si aggiunge il ritardo) sono impostate indipendentemente le une dalle altre e bisogna "arrangiarsi" con le funzioni presenti.

I filtri digitali sono molto flessibili ed il numero di minkiate che si possono fare è praticamente infinito.

[Gumbo]

Mario Bon ha scritto:
Nota: tutto quanto detto fin qui vale se gli altoparlanti sono allineati nel tempo ovvero se è stata compensata la differenza di tempo di volo tra i singoli altoparlanti ed il microfono di misura.


In questa nota sta il motivo per cui consiglierei (per evitare confusione) di cambiare titolo al thread, in quanto universalmente la locuzione "filtri quasi-ottimali" è sinonimo di "filtri JMLC" (e derivati), comprese alcune paper AES da me elencate altrove. Tali filtri si riprongono di ottimizzare anche il ritardo di gruppo e la fase, e non danno per assodata la compensazione dei tempi di volo a monte, semplicemente perché in alcuni casi e/o oltre certi limiti non è possibile farlo fisicamente ne con linee di ritardo, oppure perché farlo comporta più problemi che benefici.

Inoltre, l'interessante (e devo dire chiarissima) disamina che fai delle caratteristiche dei vari filtri, ha valore puramente teorico/accademico, in particolare nell'ambito dei diffusori a tromba, in quanto la pendenza non è mai quella teorizzata, non solo per via della risposta del trasduttore ma anche per via del cutoff della tromba.
La combinazione di questi due elementi comporta nella realtà una pendenza variabile con tre "ginocchi" (traduco dalle pubblicazioni "knees" senza preoccuparmi troppo del termine corretto in Italiano).
Il primo e dato dalla pendenza del filtro elettrico impostato.
Il secondo è dato dalla interazione tra filtro elettrico e Fc-pendenza naturale del trasduttore.
Il terzo è dato dalla interazione dei primi due con la Fc-pendenza acustica della tromba.
A seconda della frequenza di taglio prescelta, delle caratteristiche del driver e delle caratteristiche della tromba i tre "ginocchi" possono combinarsi in una unica curva a pendenza crescente, oppure essere perfettamente riconoscibili. In nessun caso corrispondono alla curva teorica di un dato filtro elettrico ne (ciò che più conta) alla corrispondente controparte passabasso o passaalto, e per questa ragione è necessario un approccio che tenga conto della situazione effettiva, sia dal punto di vista della frequenza che dal punto di vista di ritardo di gruppo e fase.
I filtri che operano in questa maniera ottenendo risultati tangibili (sia pure non perfetti) attraverso asimmetricita dell'ordine e Fx-Fc disomogenee tra passabasso e passaalto, sono quelli a cui ci si riferisce universalmente come "quasi-ottimali".

Per gli altri, onde evitare confusione, sarebbe auspicabile trovare un nome differente.

[MarioBon]

Ribadisco che non si può operare indipendentemente sulla risposta in fase e sul ritardo di gruppo (almeno in questa parte di Universo).
Questo 3D verte sulla proprietà che emergono quando un filtro (nato in un contesto monodimensionale) viene applicato ad un sistema tridimensionale. Come si vede la risposta in frequenza può essere piatta mentre la risposta in potenza non lo è.
In sostanza il criterio secondo cui l'ampiezza alla frequenza di incrocio deve essere a -3dB funziona solo in ambito monodimensionale.

Consideriamo i "filtri a tensione costante". Vengono realizzati in questo modo:
- si stabilisce un filtro (in base alle necessità) in questo caso particolare il passa alto Htw(s)
- si calcola il passa basso complementare come Hw(s)=1-Htw(s)

Data la costruzione dei filtri la risposta in frequenza è perfettamente piatta, la fase nulla ed il ritardo di gruppo (di conseguenza) è nullo. Il filtro e elettricamente perfetto. La risposta in potenza però non è piatta ma cresce di quasi 5 dB su una ottava.
Questo tipo di filtro, se implementato su un sistema di altoparlanti, comporta un eccesso di campo riverberato (il criterio di Toole non sarà rispettato).
Leggendo tra le righe si dovrebbe capire che la probabilità di ottenere una risposta polare con "picchi e buchi" è più alta rispetto ad un sistema con risposta in potenza piatta.
Sempre leggendo tra le righe si dovrebbe intuisce che, se la frequenza di incrocio non si trova a -6 dB, c'è un eccesso di potenza acustica fuori asse. Eccesso di potenza acustica evidentemente non controllato.


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[MarioBon]

Come ultimo esempio consideriamo un filtro asimmetrico (con pendenza di pa e pb diverse)


il passa alto è del quinto ordine mentre il passa basso è del terzo. i filtri sono stati calcolati da Quebek (con approssimazione inferiore ad un dB). Passa alto del quinto ordine significa un terzo ordine elettrico ed un secondo ordine acustico o viceversa).

Come si vede la frequenza di taglio è prossima a -6 dB e la risposta in frequenza ed in potenza sono quasi piatte e quasi sovrapposte. La fase complessiva è quello che è. I tempi di volo tra gli altoparlanti ed il microfono devono essere uguali (*).
Anche questo esempio conferma che il criterio per ottenere filtri con risposta complessiva piatta in frequenza ed in potenza è incrociare le risposte a -6dB (semplicemente perché 0.5+0.5=1).

Per quanto riguarda la risposta in fase, ammesso che sia udibile, si può usare RePahase per soddisfare ogni desiderio.

(*) secondo Euclide, in un sistema a due vie esiste almeno una direzione lungo la quale i tempi di volo sono uguali.

[Gumbo]

Quindi secondo te se dietro il passaalto c'è un tweeter con un offset di +10cm o di -1m il ritardo di gruppo DEL TWEETER rispetto al woofer è uguale.
Interessante, parliamone !

Riguardo alla fase rispetto al ritardo evidentemente non riesco a farmi capire. Riprovo.

Che variando il ritardo vario anche la fase e ovvio.
Che sia possibile allineare la fase con ritardi differenti e altrettanto vero.
Ergo non è strettamente necessario avere ritardo pari a zero per aver allineamento di fase tra due trasduttori.
L'allineamento di fase si verifica per tutti gli offset pari a 0 e per tutti gli offset che sono multipli della lunghezza d'onda riprodotta.
Che la situazione ideale si verifichi per offset pari a zero, siamo d'accordo, ma è ottimale per via del ritardo e non della fase. Ai fini della fase, nel senso di allineamento della rotazione tra due trasduttori, è irrilevante se i due trasduttori sono sullo stesso piano (offset zero) oppure no.
Due trasduttori possono essere "in fase" sia con offset pari a zero, che con offset pari alla frequenza riprodotta (o suoi multipli)
Dunque è possibile (anche in questa parte di universo) variare l'offset (fisico o virtuale) di un trasduttore rispetto all'altro senza variarne l'allineamento di fase a patto che le variazioni di offset siano multipli della frequenza riprodotta da entrambi.

Nota:
Quando le questioni relative al ritardo ed effettiva percezione dello stesso non erano ancora accertate (70-80) i costruttori di trombe erano soliti calcolare la profondità della tromba anche sulla base della Fx a cui erano destinate a lavorare. Questo perché non potendo (o volendo) ottimizzare il ritardo della tromba rispetto al woofer si studiava la profondità della tromba per ottenere un ritardo della tromba pari a 1*Fx e una rotazione di fase pari a 360°, cioè = 0 (Altec multicellulari, RCF 6422, JBL serie 24 e altre)
Dato che gli studi successivi su cui si basa il lavoro di lecleach & co. sembrerebbero dimostrare che il ritardo e in realtà udibile anche quando sotto la soglia di udibilità attraverso la cosiddetta distorsione da ritardo e fase, ci si concentra (oltre ad altre questioni che ho esposto sopra relativamente alla pendenza dei filtri) sul tentativo di riallineare i centri di emissione virtuali mantenendo l'allineamento di fase tra i due trasduttori.
Cioè di portare il ritardo da 1*Fx a 0*Fx e di portare la rotazione di fase da 360=0 a 0=0 e dunque lasciando invariata la rotazione di fase cioè zero.
Questo è un esempio, una semplificazione (perché le cose non sono così semplici) anche se e vero che una volta le trombe si facevano tenendo conto di Fx, che in realtà è vero ancora oggi, dato che il vantaggio delle trombine corte (e quasi sempre malsuonanti) tanto in voga ai nostri giorni e proprio il fatto di avere ritardo pari a circa 0 rispetto a un trasduttore a radiazione diretta.
Quindi la problematica del ritardo nella progettazione sia delle trombe che dei diffusori che le prevedono non
una elucubrazione mia o di Lecleach, ma un problema concreto affrontato in un modo o nell'altro a seconda dell'impiego previsto per la tromba (p.a. o hi-fi) sia in passato che ancora oggi.

Poi se tu (o chicchessia) hai trovato il modo di annullare il ritardo di un trasduttore tramite un filtro passivo (che non sia con i soliti metodi che creano più danno che guadagno ciòe filtri allpass ecc.) mi fa solo piacere e sarò il primo a implementarlo e pubblicizzarlo.