I filtri Cauer

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I filtri Cauer

#1 Messaggio da MarioBon »

I filtri che normalmente si conoscono (Butterworth, Bessel, Legendre e Tschebyschev o comunque lo si scriva) appartengono alla categoria detta all-pole perchè nella loro rappresentazione matematica compaiono solo poli.
I filtri Cauer, invece, contengono nella loro caratteristica anche coppi di zeri. Lasciamo perdere poli e zeri e vediamo la digura che segue:
Immagine
Traduzione
Cauer ha definito una famiglia di funzioni polinomiali con i poli distribuiti su una elisse attorno all'origine e coppie di zeri sull'asse immaginario sopra alla frequenza di ginocchio.
La ristoposta è "equi-ripple" nella banda passante con una banda di arresto anch'essa equi-ripple.
Queste funzioni producono un pendenza di attenuazione più rapida di Butterworth e Tschebyschev al costo della presenza della banda di arresto.
Nella figura si vede la differenza tra la risposta di un filtro passa basso Butterworth (all-pole) e un filtro Cauer (che prevede sia poli che zeri).
Per caratterizzare i filtri all-pole (come Butterworth) si indica la frequenza a -3dB (o frequenza di taglio) e l'ordine o la pendenza. La pendenza è pari 6 dB/ottava moltiplicato per l'ordine primo ordine => 1x6=6 dB/ottava
secondo ordine => 2x6=12 dB/ottava
ottavo ordine => 8x6=48 dB/ottava
In alternativa la pendenza è pari 20 dB/decade moltiplicato per l'ordine
primo ordine => 1x20=20 dB/decade
secondo ordine => 2x20=40 dB/decade
ottavo ordine => 8x20=160 dB/decade
Per caratterizzare i filtri Cauer non si può usare lo stesso metodo perchè l'attenuazione non aumenta con la frequenza ma, giunta ad un certo punto, si ferma come si vede nella figura più sopra.
La risposta del filtro Cauer viene caratterizzato con più parametri:
- fr, fc, fa e fs
- Shape factor = fs/fr
- Attenuazione nella banda di arresto
Il significato di questi parametri interessa fino ad un certo punto.

I filtri Cauer consentono di ottenere, a parità di ordine, una pendenza maggiore rispetto ad un filtro all-pole ma, ad un certo punto questa attenuazione si ferma.
Si possono trovare esempi di filtri Cauer anche nei cross-over di diffusori commerciali.
Nella figura qui sotto il passa basso del medio è sostanzialmente un Cauer del secondo ordine (una coppia di poli più una coppia di zeri). La pendenza della risposta elettrica è di 28 dB/ott circa (superiore ad un quarto ordine).
Immagine
Mario Bon http://www.mariobon.com
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Re: I filtri Cauer

#2 Messaggio da MarioBon »

Immagine
nella figura qui sopra si vede la pendenza del filtro cross-over (risposta elettrica ai capi dell'altoparlante) e si vede che la pendenza è ben maggiore di 12 dB/ott.

La risposta mostrata nel post precedente spiega molto bene la differenza tra risposta elettrica ai capi dell'altoparlante (a destra) e risposta acustica (ripresa con il microfono davanti all'altoarlante). Quello che conta è la risposta acustica ch è la combinazione della risposta propria dell'altoparlante e della risposta elettrica del filtro cross-over.
Il cross-over deve fare tre cose:

- equalizzare i livelli
- equalizzare la risposta
- applicare il taglio.

Ne segue che non c'è un filtro migliore di un altro ma solo il filtro che fa quello che serve. Alla bisogna può essere un Cauer.
Con i Cauer si deve fare molta attenzione alla tolleranza dei componenti perchè piccole differenze sui valori possono portare a grandi differenza sulla risposta. Questo significa che sono intrinsecamente costosi.
I Cauer trovano impiego per realizzare i filtri anti alias da porre all'ingresso dei convertitori A/D. Detto per inciso non tutti i Cauer sono a fase minima (in particolare quelli digitali).

P.S. almeno un autore chiama i firltri Cauer come filetri Chebyshev-II

PP.SS.
Pafnutij L'vovič Čebyšëv
Chebychev e Chebyshov in inglese;
Cebisceff e Chebycheff in italiano;
Tchebycheff e Tschebyscheff in francese;
Tchebychev, Tschebyschow e Tschebyscheff in tedesco.
Mario Bon http://www.mariobon.com
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