Fabrizio Calabrese ed i segnali pseudorandom

[MarioBon]

[carlochiarelli]

Non capisco perché devo spiegare a FC una cosa ovvia di teoria dei segnali, se non conosce la materia perché non studia e la fa finita con questa triste buffonata? Lo informo che la materia è piena di formulette che i trolletti si sono faticosamente studiate, purtroppo la matematica non ammette scorciatoie, bisogna studiare per pensare , e bisogna pensare per poter scrivere e parlare.

Domanda per domanda a FC: se ho due generatori sinusoidali a 1kHz indipendenti , qual’e la loro correlazione?

lasciami finire.... tanto non ti risponde

[MarioBon]

La risposta è piuttosto lunga e articolata perchè si deve spiegare:
- cosa è un segnale pseudocasuale
- cosa significa non correlato
- il significato della FFT.
Sarà anche necessario introdurre la funzione di autocorrelazione e cross-correlazione (o correlazione incrociata).

La funzione di auto correlazione dice quanto un segnale assomiglia a sè stesso. La funzione di cross-correlazione dice quanto due segnali si assomigliano tra loro.

Segnale Pseudorandom
Il segnale pesudorandom è un segnale periodico che, all'interno di un periodo presenta le caratteristiche di un rumore. Un rumore è tale se la sua ampiezza, in un certo istante, non dipende dall'ampiezza negli istanti precedenti. Ne segue che la sua autocorrelazione è costituita da un singolo picco la cui larghezza (nel tempo) è funzione della banda passante. Più la banda passante è larga più il picco della autocorrelazione è stretto.
In passato i segnali pseudorandom erano ottenuti da sequenza telegrafiche MLS opporunamente filtrate. Le seguenze MLS hanno un difetto: si ripetono dopo un numero di campioni pari
(2^n)-1 [2 elevato alla n meno uno]
dove n è il numero di bit del registro a scorrimento utilizzato. Questo numero però non è adatto per la FFT. Oggi si preferisce utilizzare un metodo diverso che genera segnali di 2 alla n campioni.
Dato che il segnale pseudorandom è periodico la sua autocorrelazione è periodica.

Due segnali si dicono non correlati quando la loro cross-correlazione è nulla. Ciò indica che uno non ha nulla a che vedere con l'altro. In questa condizione i due segnali si sommano in potenza ovvero non si osservano fenomeni di interferenza.
Per misurare la risposta in ambiente di due diffusori contemporaneamente funzionanti si usano due stimoli tra loro non coerenti (per canale destro e sinistro) in modo che non possano interferire l'un l'altro e si sommino in potenza.
Due segnali incoerenti hanno anche un'altra proprietà: se uno dei due viene invertito (scambiando il più con il meno all'ingresso di un diffusore) il risultato della sovrapposizione non cambia. Questo è un ottimo sistema per verificare l'incoerenza dei due segnali.
Dato che il segnale utilizzato è stato reso disponibile chiunque poteva fare questa semplice verifica. Poi, magari, ci ragionava sopra perchè con i segnali non si può applicare la logica degli oggetti ordinali (quella che applica il sig. Calabrese) si deve usare la logica dei segnali.
I segnali, a differenza degli oggetti ordinali, possono occupare in molti lo stesso spazio (si veda il principio di sovrapposizione). Quindi si può fare un ragionamento logico ma si deve usare la logica appropriata (che non è quella ordinale).

[MarioBon]

Per generare un segnale spettralmente semplce lo si può scrivere, determinarne il valore dei campioni e quindi salvarlo in formato .waav per suonarlo. Per esempio
- una sinusoidi: x(t) = A sin (w0 t)
- un battimenti:x(t) = A sin (w0 t)+ A sin (w1 t)
- una onda quandra: x(t) = A sin (w0 t)+ (A/3) sin (3w t)+ (A/5) sin (5w t)+ (A/7) sin (7w t)....
Gia scrivere e sommare tutte le componentidi un'onda quadra diventa complicato e lento.
Si preferisce allora definire lo spettro del segnale X(w) e quindi applicare una FFT inversa per ottenere l'anfamento nel tempo x(t). in questo casoil segnale è rappresentato da una serie di coefficiento complessi z=(a+ib) tali che
a^2+b^2 = module
Arg(b/a) = fase
Dato che lo spettro di in segnale (per esempio) da 1024 campioni nel tempo è formato da 512 righe spettrali, si deve definire la successione di 512 coefficienti complessi.
Lo spettro è quindi una ennupla [z1, z3, z3, z4, ...,z510, z511, z512]
Regolando opportunamente modulo e fase (parte reale eparte immaginaria) si definisce qualsiasi segnale con qialsiasi forma.
Ora se guardiamo quella ennupla troviamo tanti coefficienti complessi z=(a+ib) dove a e b sono dei numeri reali. Che cosa manca? manca il tempo. Ciascuno di quei coefficienti z è indipendente dal tempo.
Ne segue che il segnale è definito come la sovrapposizione di tante sinusoidi quanti sono gli z.
Torniamo all'onda quadra. Definiamola come spettro
z0 (cmponentecontinu=0
z1 (fondamentale) = 1 con Arg=0
z2 (seconda armonica) = 0 con Arg=0
z3 (terza ...) = 1/3 con Arg=0
z4 (quarta...) = 0 con Arg=0
z5 (quinta...) = 1/5 con Arg=0
z6 (sesta...) = 0con Arg=0
z7 (settima...) = 1/7 con Arg=0
.....
z511 (511esina)= 1/511 con arg=0
z512 (512esina)= 0 con arg=0

L'onda quadra è semplice perchèle ampiezza seguono una legge semplice e le fasi sono tutte nulle.
Se volessimo generare lo stesso segnale usando dei generatori di sinusoindi ne dovremmo disporre 512, porre a zero tutti i generatori pari, rogolare l'ampiezza di ciascuno e accenderli tutti contemporaneamente in modo da mantenere tutte le fasi relative a zero. Tutte le uscite vanno sommate. E' garantito che ne risulta un'onda quadra.
Cosa succede se spegnamo tutti i generatori meno uno? che il segnalesi strasforma in una sinusoide.
Adesso andiamo sul complicato: vogliamo generare un rumore pseudocasulae. Prendiamo i nostri 512 generatori, impostiamo per ciascuno ampiezza e fase in modo casuale ed osserviamo l'uscita.Vediamo un rumore. Per capire se è proprio tale dobiamo calcolarne l'autocorrelazione.
Cosa succede se spegnamo tutti i generatori meno uno?osserveremo solouna la sinusoide gerata dall'unico apparecchio rimasto acceso.

[MarioBon]

Facciamo un ulteriore passo: vogliamo generare due segnali tra loro non correlati. Un segnale lo abbiamo già preparato non resta che preparare altri 512 generatori e impostare ancora una volta a caso ampiezza e fase. A questo punto vanno verificate:
- l'autocerrelazione del primo
- l'autocerrelazione del secondo
- la correlazione incrociata dei due.
In sostanza si deve verificare non solo che i segnali siano singolarmente pseudocasuali ma che non siano tra loro correlati. Come prova alternativa alla cross-correlazione possiamo verificare se i due segnali si sommano in potenza (come già suggerito e come è stato fatto).
Tuttavia se spegnamo tutti i generatori meno uno (per un segnale e per l'altro) otteniamo due sinusoidi di ari frequenza i quali, se fossero ripodotti da soli, produrrebbero interferenza: non è facile capire come due segnali composti da componenti che prese singolarmante intereriscono, i sommino in potenza quando tutte le componenti spettrali sono contemporaneamente presenti.
Dal punto di vista matematico la correlazione (auto o incrociata) non è una operazione semplice come la somma.

Senza entrare nei dettagli matematici tentiamo un ragionamento euristico con un esempio.
La figura che segue mostra l'andamento nel tempo della sovrapposizione di tre sinusoidi di frequenza vicina.



In entrambe gli esempi le tre sinusoidi hanno la stessa ampiezza. Nel secondo grafico (in basso) le tre sinusoidi hanno fase relativa nulla. Nel primo grafico (in alto) una delle tre sinusoidi è stata ruotata di 180°. Quello che si vede è un battimento.
Nel primo grafico l'ampiezza è maggiore verso gli estremi e minore al centro mentre nel secondo avviene il contrario (l'ampiezza è maggiore al centro e minore agli estremi).
Quindi, benchè le tre frequenze siano tutte contemporaneamente presenti per tutto il tempo, nei due segnali le divese relazioni di fase danno origine ad andamenti nel tempo che appaiono complementari: quando c'è una non c'è l'altra e viceversa.
Si può comprendere allora come, benchè due segnali abbiano spettro con lo stesso modulo (e contengano le stesse frequenze) possano risultare non correlati tra loro.
Il motivo va ricercato nelle diverse relazioni di fase che danno origine a segnali con andamento nel tempo completamente diverso tanto che una certa frequenza sembra comparire e scomparire in momenti diversi.
Quando lo spettro è formato da decine di migliaia di frequenza diverse è impossibile proporre esempi grafici come questo e non resta che il calcolo matematico.

Nota: il segnale usato come esempio è composto da 4096 campioni con frequenza di campionamento di 44100 Hz ne segue che le righe spettrali sono multipli di 10.77 Hz circa.

Per una spiegazione matematica rigorosa si rimanda alla letteratura.

[MarioBon]

Va ribadito, se non fosse stato chiaro che la misura di SPL in ambiente con due stimoli non correlati viene fatta (almeno da chi scrive) senza applicare finestre di pesatura nel tempo e senza eseguire alcun processo di media nel tempo o nel dominio della frequenza (anche perchè non è necessario un rapporto segnale/rumore particolarmente alto per ottenere una buona misura). 40 dB di rapporto S/N sono sufficienti e questo rende possibile la misura anche in ambienti non particolarmente silenziosi (l'errore è minore di 0.1 dB).

[TomCapraro]

C'è gente ignorante che scambia i segnali scorrelati per "azioni truffaldine"
C'è gente ignorante che non sa che, un segnale musicale -registrato- e riprodotto in ambiente, produce una "scorrelazione" pressochè identica (sull'intera banda) se confrontato con il segnale scorrelato "truffaldino".
C'è anche gente deficiente che, al cospetto di un analisi teorica cosi approfondita, ci fa una risata sopra. (ma perchè non comprende e non può comprendere quanto è stato scritto)

edit: e c'è anche chi ride per la propria ignoranza ed incompetenza. (i famigerati "progettisti")

[TomCapraro]

Le misure con segnale scorrelato servono per stabilire l'andamento della risposta in frequenza nelle condizioni più simili ad una reale riproduzione di segnali musicali -registrati- in ambiente. Punto.

[carlochiarelli]

Qualcuno spiega al genio che se un impulso con la stessa energia di un rumore rosa pseudorandom avrebbe un picco “esagerato” ? Per non parlare del rapporto S/N? Ma siamo ancora alla pistola e al palloncino per misurare le caratteristiche di un ambiente? .... continuiamo ad usare tecniche paleozoiche perché sappiamo solo quelle! Ovvio che si usa la tecnica corretta per fare una misura corretta. Se si vuole vedere una risposta in regime stazionario con valori corretti in tempi ragionevoli, si usa un rumore pseudorandom. Mi pareva che il punto da chiarire era quello dell’uso di segnali correlati o incorrelati, poi la frittata si è girata un’altra volta!
PS si dimostra che per fare la X-correlazione di due segnali basta invertire il tempo di uno dei due e farne la convoluzione con l’altro.
PPSS la convoluzione nel domino del tempo equivale al prodotto nel domino della frequenza.

NB l’aiuto c’e’, di formulette neanche una, vediamo se qualcuno ci arriva....

[MarioBon]

...PS si dimostra che per fare la X-correlazione di due segnali basta invertire il tempo di uno dei due e farne la convoluzione con l’altro.
PPSS la convoluzione nel domino del tempo equivale al prodotto nel domino della frequenza.
....

Se poi aggiungessimo che sia la convoluzione che la correlazione sono prodotti scalari di funzioni di uno spazio L2 e che la FFT non è altro che il calcolo di una seri e di prodotti scalari si capirebbe anche che l'operazione (o meglio lastrutttura) da conoscere è una sola. Nota quella è tutto noto. Ne segue che con la FFT si fa tutto.tutto .

I tempi di J. B. J. Fourier il premio Nobel non era ancora stato istituito altrimenti gli sarebbe stati sicuramente assegnato.

https://it.wikipedia.org/wiki/Jean_Bapt ... ph_Fourier
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier