RApporto S/N, rumore e dithering

[MarioBon]

il rapporto S/N o segnale/rumore misura il rapporto tra il valore RMS del segnale ed il valore RMS del rumore.
Nel seguito utililizziamo il fattore di cresta CF (rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS).

CF = Vpicco / Vrms da cui risulta che Vrms = Vpicco/CF

Il valore di picco, per un segnale in forma digitale, si trova facilmente perchè è pari al valore massimo consentito dal convertitore A/D che a sua volta è pari a 2 elevato al numero di bit meno uno

per A/D a 16 bit => 2^(16-1) = 2^15 = 32768 con picco positivo 32767
per A/D a 24 bit => 2^(24-1) = 2^23 = 8388608 con picco positivo 8388607

il fattore di cresta di un programma musicale va da un minimo di circa 3 ad un massimo di 30 (28 è il valore più alto che ho misurato). Detto questo il valore RMS del segnale musicale è:

Srms = 2^(m-1)/CFs dove m è il numero di bit del convertitore.

lo stesso ragionamento si ripete per l'errore di quantizzazione (che è il minimo disturbo presente nel segnale digitale). l'errore di quantizzazione vale la metà del bit meno significatovo (LSB=1) ovvero 1/2.
Se il segnale è stato ditherizzato aggiungendo un rumore casuale con ampiezza di 2 bit picco-picco, il valore di picco del rumore (dither+quantizzazione) vale 1.5

Resta un problema: quanto vale il fattore di cresta del rumore?

- segnale telegrafico (successione casuale di 1 e 0) con media nulla CFrumore minimo = 1
- segnale sinusoidale puro CF = 1.414
- rumore con distribuzione uniforme CFrumore = 3.46
- rumore con distribuzione gaussina CFrumore = 3.75 (dithering)

alla fine

Rrms = Vpicco /CFr dove Vpicco vale 1.5 con dithering e 0.5 senza.

Ora possiamo calcolare il rapporto S/N = [2^(m-1)/CFs]/[Vpicco /CFr]
se interessa in dB basterà calcolare 20 volte il logaritmo in base 10 di S/R.
Si nota subito che se CFs=CFr

S/N A/D 16 bit senza dithering = 20 log (65534) = 96.3 dB
S/N A/D 16 bit con dithering = 20 log (65534) = 86.8 dB

che sono i numeri che siamo abituati a vedere e sentire.
Consideriano un caso forse più reale:

- CFrumore = 3.75 (con dithering distribuzione gaussiana)
- CFsegnale = 10 (file ad alta dinamica)
- Convertitore a 16 bit
Risulta S/N = 78.3 dB (87.8 senza dithering).

Se il rumore presenta una distribuzione dell'ampiezza uniforme piuttosto che gaussiana l' S/N cambia di frazioni di dB.

Per concludere la dinamica di un file digitale dipende dal fattore di cresta ed è più alta per i file con fattore di cresta più basso (i più compressi).
Anche con convertitori a 16 bit il campo dinamico è sufficiente per riprodurre oltre 60 dB di dinamica anche con i CF più elevati.

Non abbiamo considerato il rumore della catena (pre, ampli, ecc.) che deve essere basso. Se fosse uguale al rumore contenuto nel file il range dinamico diminuirebbe di 3 dB.

Con 24 bit l'errore di quantizzazione praticamente scompare (ampiamente non udibile) anche se ditherizzato. Resta il rumore elettrico della catena.

[MarioBon]

L'errore di quantizzazione viene spesso chiamato "rumore di quantizzazione" ma non è un rumore.
Tanto per cominciare quando il campione da convertire vale zero l'errore vale zero mentre, se fosse un rumore, assumerebbe un valore casuale.
Poi l'errore di quantizzazione è correlato al segnale (il rumore non lo è) e, se si converte una sinusoide il cui periodo è un multiplo del periodo di campionamento, appare distorsione armonica (che si distrugge con il dithering).

Allora perchè viene detto "rumore"?

perchè per un programma musicale l'errore è talmente incasinato che sembra un rumore e poi, trattandolo come un rumore, si possono fare delle ipotesi semplificative nei calcoli.
l'unico modo per ridurre decisamente l'errore di quantizzazione è aumentare il numero di bit del convertitore.
L'altra cosa da non fare e convertire un file a 24 bit in 16 bit (non c'è dither che tenga).
L'operazione inversa (passare da 16 a 24) non muta le informazioni presenti nel file originale (e il dithering non serve).
Allo stesso modo ricampionare un segnale a 44.1kHz a 88.2kHz (o più) non migliora il segnale (ma può ridurre l'effetto del filtro di riscostruzione).

Nel fare questi ragionamenti si deve tenere presente una regolatta:

se due segnali non sono tra loro correlati si sommano in potenza senza produrre interferenza (per es. se hanno valore RMS uguale la somma aumenta di 3 dB)
se due segnali sono tra loro correlati si sommano in ampiezza e producono interferenza (per es. se hanno valore RMS uguale la somma va da +6dB a meno infinito)

Un rumore casuale è correlato solo con sè stesso.

Per quanto riguarda la riproduzione il campo acustico generato dagli altoparlanti in un ambiente chiuso di distingue in
- campo diretto (il suono che giunge alle orecchie senza subire riflessioni)
- il campo riflesso (che subisce almeno una riflessione o suepera un ostacolo)

Dopo un certo numero di riflessioni in campo diretto ed il campo riflesso non sono più correlati. Un certo numero di riflessioni significa anche un certo tempo (detto tempo critico).
trascorso un decimo di secondo un suono e le sue riflessioni sono percepiti come suoni distinti. Se sono ancora correlati si percepisce un eco.
Questo indica la necessità di disporre nell'ambiente susperfici diffondenti per scorrelare il campo diretto della sue riflessioni (particolarmente le prime riflessioni).
Quanto vale il fattore di cresta della sovrapposizione (campo diretto+campo riflesso)?
Nel punto dove il livello del campo diretto è uguale al livello del campo riflesso (ipotizzato non correlato) il fattore di cresta vale metà del fattore di cresta del solo campo diretto.
Questo, in un ambiente "normale" avviene entro un metro dalla distanza dagli altoparlanti. Ne segue che, a due metri o più dagli altoparlanti, il fattore di cresta percepito è "basso".

[MarioBon]

Questa figura (proposta da Fabrizio Calabrese nel suo sito) mostra la stima dell'errore di quantizzazione nell'ipotesi che la pdf (funzione densità di probabilità) dell'errore stesso sia uniforme (come mostra il grafico).
Questo è vero per le immagine digitalizzate ma non è vero per l'audio digitalizzato. Quindi non va presa in considerazione.
Purtroppo troppo spesso si ricorre a semplificazioni che non sono sempre verificate.

[NomeUtente]

Secondo me, queste dimostrazioni dovrebbero essere corroborate con riferimenti (testi, ovvero link, ovvero altro).
Metti che ci sia qualche reticenza da parte di lettori... troverebbero qualcosa a dissipare i dubbi... una partenza per approfondimenti.

[MarioBon]

nella trattazione che segue non viene detto che la pdf dell'errore di quantizzazione viene assunta uniforme:
https://techgoggler.com/it/automatica/r ... -digitale/

Qui viene invece dichiarato esplicitamente che la pdf dell'errore è assunta uniforme. Si dice anche che l'errore può essere trattato come un rumore casuale. Se così fosse il dithering sarebbe inutile. In realtà l'errore di quantizzazione non è casuale altrimenti assumerebbe valori diversi da zero anche quando l'errore è nullo.
https://www.google.com/url?esrc=s&q=&rc ... N_ms3N43yG

Quest'ultimo (dispense dell'Università di Bologna) mette in evidenza le ipotesi fatte e tratta la pdf non uniforme:
https://www.google.com/url?esrc=s&q=&rc ... MEaDPkH4Dh

Quindi si deve fare attenzione a quello che si legge