Utilizzo dei filtri FIR nei crossover

[MarioBon]

Nella Application Note della B&K "Loudspeaker Phase measurements transient response and audible quallity" (versione espansa della presentazione fatta dalla 48^ Convention della AES) c'è una interessante figura che riporta una serie di misure di ampiezza e fase eseguite su diversi sistemi di altoparlanti:

il fatto che siano belle o brutte ora non ha nessuna importanza. Teniamole a mente.

I filtri FIR (Finite Impulse Responce) realizzano funzioni di trasferimento a fase lineare. Questo significa che la fase è proporzionale alla frequenze e, di conseguenza, il ritardo di gruppo è lo stesso a tutte le frequenze. In sostanza applicando un segnale all'ingresso di un filtro FIR alla sua uscita il segnale sarà (oltre che attenuato) ritardato di un certo tempo. Ma non è questo il problema.

Quando si connettono due dispositivi in cascata la risposta complessiva mostra il modulo totale pari al prodotto dei moduli d(della risposta) dei singoli dispositivi mentre le fasi risultano sommate.
Se il primo dispositivo è un filtro FIR ed il secondo un altoparlante, la risposta in fase complessiva sarà quella dell'altoparlante senza filtro più un ritardo costante (come se avessimo spostato l'altoparlante più indietro rispetto al microfono). La fase dell'altoparlante non viene alterata se non per un ritardo costante (il modulo invece sarà modificato dal passa alto, passa banda ecc. a seconda del filtro impostato).

Consideriamo un crossover digitale a due vie realizzato con filtri FIR.
Il segnale diretto al woofer attraversa un filtro passa basso.
Il segnale diretto al tweeter attraversa un filtro passa alto.
Le due risposte si sommano al microfono di misura. Supponiamo di aver fatto le cose per bene e che il ritardo (costante) aggiunto dai due filtri FIR sia lo stesso.
La fase (nella banda di incrocio) della sovrapposizione di woofer e tweeter non è troppo diversa da quella che si avrebbe se i filtri non ci fossero. La fase non viene corretta (attenzione che stiamo parlando solo della fase).

Consideriamo un crossover digitale a due vie realizzato con filtri IIR che riproduco filtri a fase minima.
Per fare le cose semplici, detta Hw(jw) la funzione di trasferimento del woofer con filtro calcoliamo la funzione di trasferimento del tweeter con filtro come 1-Hw(jw).
La fase della sovrapposizione di woofer + tweeter (con relativi filtri) ora è nulla perché (1-Hw(jw))+ Hw(jw) =1
In questo caso la risposta complessiva del sistema è stata corretta, la funzione di trasferimento è unitaria e qualsiasi segnale è riprodotto con la stessa forma (almeno nella posizione del micofono).

Il caso descritto è (evidentemente) ideale ma mostra una cosa:
- con i filtri FIR ci si tiene la risposta in fase "originale"
. con i filtri IIR (o analogici) si corregge la fase complessiva e si ottimizza la risposta impulsiva.

La cosa funziona in una regione di spazio limitata perché spostando il microfono la differenza di "tempo di volo" tra woofer e microfono e tweeter e microfono cambia alterando le relazioni di fase.

Quindi sono più utili i filtri FIR o i filtri IIR? dipende perchè quello che fa uno non lo fa l'altro e viceversa.
I filtri FIR sono utili ma non è sono necessariamente la soluzione migliore per realizzare crossover anche se qualcuno ha messo in giro questa voce che è diventata è una specie di moda.
Una affermazione non diventa vera solo perché viene ripetuta spesso. Ancora una volta: si deve fare quello che serve e, nel caso dei filtri, si devono usare i filtri FIR quando servono e i filtri IIR quando servono.
Per sapere cosa serve bisogna decidere quello che si vuole fare. Poi si fanno i conti.

Comunque un altoparlante tende ad essere un sispositivo a fase minima quindi conviene trattarlo come tale, sfruttare le proprietà della funzioni a fase minima e poi eventualmente correggere l'eccesso di fase o utilizzare uno strumento come Rephase per trasformare il sistema in fase lineare.

[MarioBon]

Tornando alle misure mostrate nel post precedente, purtroppo, non significano molto.
Per essere significative dovrebbe essere riportata esattamente la condizione di misura. Il microfono dovrebbe essere posto all'altezza delle orecchie di una persona seduta e la distanza dovrebbe essere quella effettiva di ascolto.
Naturalmente il tutto in camera anecoica.
Se quelle misure sono state fatte in camera anecoica con il microfono a un metro sull'asse del tweeter non sono riferibili alle effettive condizioni d'uso.
Dovendo scegliere, o dovendo dare un criterio di scelta, le migliori sono quelle con fase nulla tra 500 e 1500 Hz.

[MarioBon]

allora cosa si deve chiedere ad un sistema di altoparlanti?
si dovrebbe chiedere il rispetto della forma dei segnali che giungono ai morsetti del sistema di altoparlanti.
in poche parole un sistema dovrebbe essere "invariante in forma".
Questa condizione nella pratica, con un sistema multivia con più altoparlanti, si ottiene a partire da una certa distanza lungo un particolare asse (asse privilegiato di radiazione).
La condizione per ottenere l'invarianza in forma è che la funzione di trasferimento del dispositivo presenti fase nulla o lineare sullo spettro dello stimolo.

Se lo spettro dello stimolo si estende da 200 a 4000 Hz è sufficiente che la fase sia nulla o lineare tra 200 e 4000 Hz.
Per un amplificatore l'invarianza in forma da 20 a 20kHz si ottiene
- se la risposta è a fase minima e piatta da 2Hz a 200kHz
- se la risposta è a fase lineare e piatta da 20Hz a 20kHz
effettivamente la fase lineare richiede una banda passante inferiore comunque per un amplificatore si può fare anche perché oltre i 20kHz la richiesta di corrente è praticamente nulla.

E per un sistema di altoparlanti?
Un sistema di altoparlanti è intrisecamente limitato in banda ed i sistemi che con risposta piatta da 20Hz sono veramente pochi. Nessun sistema arriva a 200kHz.
Un sistema di altoparlanti, a fase minima, con risposta piatta da 20Hz a 20kHz potrebbe esistere ma avrebbe fase nulla solo tra 200Hz e 2kHz (circa). Questa fortunatamente è la banda di frequenza dove l'orecchio è sensibile alla fase. Sembra opportuno affidare questa banda ad un unico altoparlante (il medio) anche perchè poi è più facile correggerla..
Quindi un amplificatore con banda passante 2-200 kHz che pilota un sistema di altoparlanti con risposta piatta 20-20 kHz riproduce la fase come serve all'orecchio. Oggi con dispositivi come il DRC, Rephase ed equalizzatori vari si può fare.
Non abbiamo parlato delle rotazioni di fase introdotte dai filtri anti-alias e di ricostruzione ma ci sono anche quelle (e vengono superate con l'oversampling).

Aneddoto: quando i microfono avevano la banda passante limitata a 3500 Hz gli addetti ai lavori si erano accorti che la risposta in fase produceva effetti udibili. Quando furono disponibili i primi microfono con banda passante estesa a 13500 Hz non fu più dato peso alla fase.

[MarioBon]

Consideriamo il ritardo di gruppo prodotto da un filtro digitale anti alias (come quelli presenti all'ingresso di un ADC e all'uscita di un DAC.

Come si vede i filtri di Bessel e a Ritardo costante producono un ritardo di gruppo costante sulla banda passante utile.
Purtroppo un ritardo di gruppo favorevole comporta una attenuazione meno efficace (e questo è un effetto generale).
Se la banda passante non è rigorosamente limitata si genera aliasing (=> distorsione di intermodulazione). Quindi si cerca un compromesso tra ritardo di gruppo e attenuazione.
Il problema è particolarmente grave per il CD che è campionato a 44.1 Hkz e l'attenuazione deve essere massima tra 20kHz e 22.05 kHz (come richiesto dal teorema di Shannon) il che richiede filtri estremamente pendenti.
Con campionamenti a frequenza maggiore (88.2, 96 ... kHz) la banda passante rimane a 20 kHz ma c'è una banda molto più larga per allontanare il filtro dal limite superiore della banda passante.
L'oversampling fa esattamente questo: moltiplica la frequenza di campionamento per allontanale il filtro anti alias dal limite superiore della banda passante.
Attualmente ci sono i modi e le tecniche per superare il problema del ritardo di gruppo dei filtri Anti Alias.
Attualmente anche se lungo la catena di riproduzione il segnale viene convertito e riconvertito due o tre volte la qualità non ne risente (dopo dieci riconversioni qualche cosa si sente).

[MarioBon]

I vituperati sistemi a fase minima hanno una proprietà che gli altri sistemi non hanno:
un sistema a fase minima conserva l'informazione.
Questo significa che tutto quello che era presente all'ingresso e presente anche in uscita anche se attenuato e ruotato.
Questa proprietà consente di equalizzare la risposta di un sistema a fase minima e rendere piatta la risposta.
Altra proprietà esclusiva dei sistemi a fase minima e che, se si aggiusta il modulo, automaticamente si aggiusta anche la fase. Allo stesso modo se si aggiunta la fase si aggiunta anche il modulo. Tutto ciò che questa modifiche siano fatte con dispositivi a fase minima.
I sistemi a fase minima hanno anche un difetto: la figuta qui sotto mostra la risposta in frequenza e fase di un sistema con banda passante da 20 a 20kHz.

Come si vede l'alterazione della fase comincia una decade prima e finisce una decade dopo della frequenza di taglio.
La fase resta nulla solo tra 200 e 2000 Hz (con errore minore di 3 gradi). A questo si era già accennato.
Come detto prima per un amplificatore con risposta piatta da 2 a 200 KHz la fase è nulla si tutta la banda passante audio


Quindi il sistema di altoparlanti ideale (due vie) si dovrebbe fare così:
- si prende un woofer
- si corregge l'eccesso di fase
- si equalizza la risposta per renderla piatta (o come piace)
- si fa la stessa cosa per il tweeter
- si applicano il cross over (per esempio LR compensando i tempi di volo)
il sistema così ottenuto è a fase minima (nel punto di misura).
Ora con Rephase si fa quello che si vuole.
Il sistema indicato richiede di correggere l'eccesso di fase indipendentemente per ciascun altoparlante. Fortunatamente si può scegliere il numero di vie in modo da evitare la correzione dell'eccesso di fase per tutti gli altoparlanti. Per un tweeter da un pollice, per esempio, la correzione dell'eccesso di fase è superflua.