Sfera pulsante e rendimento (*)

[MarioBon]

Lo scopo di questo seminario è ribadire che esistono dei limiti di rendimento che i sistemi di altoparlanti non possono superare indipendentemente dalla tecnica utilizzata.
Consideriamo la sfera pulsante ideale in tre situazioni:


Prima di cominciare dobbiamo capire bene come viene fatta la misura del rendimento di un sistema: in sostanza il sistema in esame (DUT) viene confrontato con una sfera pulsante ideale. In particolare viene confrontata

- la potenza acustica emessa da una sfera pulsante ideale
- la potenza acustica irradiata dal DUT.

Dato che sussiste una relazione tra Potenza acustica, SPL prodotto e Indice di direttività, la si sfrutta per ottenere il rendimento per confronto.
Ora il livello SPL si misura con una certa facilità, il fattore di direttività si trova nei data sheet delle trombe e può anch'esso essere misurato (non richiede una camera anecoica). Questo per dire che la relazione
rendimento = 10^(0.1(SPL-DI-109.2))

è di uso meno complicato rispetto alla misura di potenza acustica in camera anecoica .

[MarioBon]

La prima espressione che prenderemo in considerazione è questa:

Lp=Lw+DI-20log(r)-11 in dB (1)

Il livello di pressione è pari al livello di potenza (Lw) più l’indice di direttività (DI o ID) meno 20 volte il logaritmo in base dieci della distanza meno 11 dB.
Il valore 11dB deriva dal calcolo delle costanti e, in condizioni standard vale 10.8 ma viene spesso arrotondato a 11.
Ponendo Lw=120 (1 watt acustico), ID=0 (radiazione omnidirezionale) e la distanza r a un metro si ottiene Lp=109.2 dB (che,volendo, si arrotonda a 109dB).
Le sorgenti che producono più di 109.2 dB esistono ma assorbono più di un watt elettrico o hanno un indice di direttività maggiore di 0 o sono misurate a distanze diverse da un metro. Quindi, in sè, non è un problema leggere che un sistema produce 110 o 120 dB a un metro...lo diventa se mancano alcune specifiche.

109.2 dB è il livello di pressione SPL prodotto da una sfera pulsante misurato a un metro di distanza quando questa irradia 1 Watt acustico[/b]. Fin qui non si è parlato di rendimento quindi non sappiamo quanti watt siamo necessari per ottenere questo risultato. Supponiamo ora che questa sfera pulsante assorba un Watt elettrico per produrre un Watt acustico. Il rendimento risulta del 100% e questo indica chiaramente che non si tratta di un dispositivo fisicamente realizzabile perché contravviene al Secondo Principio della Termodinamica. Tuttavia è importante stabilire quale sia il massimo SPL che ci si può attendere da una sorgente ideale perché qualsiasi sorgente reale, con rendimento necessariamente inferiore, potrà produrre solo un SPL inferiore a tale limite. Allo stesso modo è importante stabilire il massimo rendimento teorico di una sorgente perchè qualsiasi altra sorgente reale non potrà avere rendimento superiore.

La prima osservazione da fare è la seguente:
se una sorgente reale che assorbe un Watt elettrico produce 100 dB SPL a un metro se
- il riferimento è 109.2 dB => il suo rendimento è del 12.0226%,
- il riferimento è 109 dB => il suo rendimento del 12.5893%.
Il rapporto tra questi due valori corrisponde esattamente ai quei 0.2 dB di differenza di livello nel riferimento (da 109.2 a 109) e comportano un errore prossimo al 5%. Per evitare questo errore, quando si valuta il rendimento, si deve specificare il valore dell’SPL assunto come riferimento (ovvero la temperatura e la densità dell’aria al momento della misura).

La seconda osservazione da fare è la seguente: nessuna sorgente, che assorba un Watt elettrico, può produrre un livello SPL maggiore di 109.2 dB riferiti ad un metro su spazio intero.
Quindi se un sistema viene dato per 110 dB/1Watt/1metro c’è qualche cosa che non va: o non è stata specificato l’indice di direttività o si è commesso un errore perché quei 110 dB corrisponderebbero al 120.2% di rendimento.

Rielaborando la (1) si ottiene questa espressione per il rendimento:

Rendimento = 10^((SPL-DI-109.2)/10)

Moltiplicando per 100 si ottiene il rendimento espresso in percentuale. Questa espressione si applica a qualsiasi sorgente indipendentemente da come sia fisicamente realizzata (qualsiasi tipo di carico, qualsiasi numero di altoparlanti, trombe o non trombe).

[MarioBon]

La sfera pulsante ideale:
Vediamo più in dettaglio le caratteristiche della sfera pulsante ideale che, va ricordato, non è un dispositivo fisicamente realizzabile.
Per continuare dobbiamo scrivere l’espressione del rendimento separando il rendimento della trasformazione elettromeccanica dal rendimento della trasformazione meccanica-acustica.

Rendimento elettrico-meccano = Re[Pmec]/Re[Pele] = Re[Zes]/Re[Zes+Ze] (2)
Rendimento meccanico-acustico = Re[Pacu]/Re[Pmec] = Re[Za]/Re[Zm+Za] (3)

Rendimento totale = (Re[Pmec]/Re[Pele]) (Re[Pacu]/Re[Pmec]) = Re[Pacu]/Re[Pele])
Rendimento totale = (Re[Zes]/Re[Zes+Ze]) (Re[Za]/Re[Zm+Za])

Per prima cosa, dall’ipotesi che il rendimento elettrico-meccano è pari al 100%, si deduce che le perdite meccaniche sono nulle. Ne segue che la parte reale di Zm è nulla e Zm è immaginaria pura. Dato che Zes è proporzionale a 1/Zm, ne segue che anche Zes è puramente immaginaria.
Fin qui abbiamo stabilito che Re[Zes+Ze]=Re[Ze]=RE
Osservando la (2) si potrebbe dire che il rendimento elettrico-meccano è massimo se Ze è nullo. Purtroppo, ponendo Ze=0 si pone anche RE=0 e resta solo Zes che è puramente immaginaria. In queste condizioni la potenza elettrica attiva erogata sul carico è nulla. Se la potenza è nulla non è possibile definire il rendimento. RE non può essere nulla. Allora come può il rendimento meccanico essere pari al 100%? È necessario che sia Zes >>Ze.
Nel caso ideale deve essere Zes= infinito.
Ma Zm è proporzionale a 1/Zes e se Zes va a infinito allora Zm si annulla e questo impedisce di trasferire potenza a Za…. Quindi Zm deve essere contemporaneamente nulla e infinita mentre Zes deve essere infinita e nulla.
Passiamo al rendimento acustico-meccanico: per ottenere il 100% deve essere Za >> Zm. Al limite deve essere Za infinita. Za è l’impedenza di radiazione della sfera e diventa infinita quando il raggio della sfera è infinito.

Quindi abbiamo un dispositivo con:
- dimensioni infinite (ma anche nulle per la sorgente puntiforme),
- impedenza elettrica finita,
- impedenza meccanica Zm nulla ma contemporaneamente infinita
- componente mozionale dell'impedenza elettrica Zes finita e contemporaneamente nulla

Queste condizioni sono contraddittorie e, infatti, il dispositivo non può essere realizzato.
Per semplificare le cose si stabilisce che Za e Zm sono infinite e che la potenza acutica assorbita è un Watt senza indagare oltre.

[MarioBon]

Stabilito che la sfera pulsante non esiste ma è solo un utile riferimento, vediamo cosa succede se assumiamo delle condizioni fisicamente realizzabili (Zm finita non nulla, Za finita non nulla).
Cominciamo dal rendimento acustico. Se Zm è finita e Za è finita il massimo trasferimento di potenza sul carico si ottiene quando Za=Zm. In sostanza (a bassissima frequenza) la densità della sorgente deve essere pari alla densità dell’aria.

Per Zm=Za il rendimento acustico massimo è pari a 0.5 (50%). Quindi o il rendimento è 100% (sfera ideale) oppure, appena di richiede la realizzabilità fisica, il rendimento cala al 50%.

Ancora non abbiamo detto nulla sul rendimento meccanico che, nella realtà, sarà anch’esso minore del 100% riducendo il rendimento complessivo a meno del 50%. Dato che esistono molti sistemi per produrre vibrazioni meccaniche, lasciamo questo calcolo in sospeso accontentandoci di quanto concluso per il rendimento acustico.
Fino a questo momento abbiamo concluso che per il solo fatto di dove adattare la sorgente al carico dell'aria il rendimento non può superare il 50% (anche se il rendimento meccanico fosse del 100%). Questo risultato vale in generale per tutte le sorgenti elettroacustiche.
Ricordiamo che il risultato è stato ottenuto applicando esclusivamente.la massimizzazione del trasferimento di potenza sul carico (aria) per un dispositivo fisicamente realizzabile.
La sfera pulsante genera onde sferiche. I risultati ottenuti si estendono a tutti i dispositivi che generano onde sferiche. Qualsiasi sorgente, nel suo campo lontano, genera onde sferiche. Le onde piane sono onde sferiche con raggio di curvatura infinito….Grazie a queste considerazioni i risultati ottenuti si estendono a tutte le sorgenti acustiche purché misurate nel loro campo lontano.
Non per nulla le misureranno sempre condotte nel campo lontano delle sorgenti.

Ci sono sistemi il cui limeite massimo di rendimento non può raggiungere il 50%. Per esempio un pistone rigido che irradia potenza con una sola faccia (l'altra faccia è rivolta verso l'interno di una cassa chiusa) produce metà potenza verso l'esterno mentre metà resterà all'interno della cassa. In questo caso il rendimento massimo è la metà del 50% ovvero il 25%.

La compressione termica ed il rendimento

Nei data sheet dei woofer professionali viene specificato di quanti dB si riduce l’SPL a causa dell’incremento di temperatura. Se l’incremento di temperature causa compressione per:

1 dB il rendimento va moltiplicato per 0.79
2 dB il rendimento va moltiplicato per 0.63
3 dB il rendimento va moltiplicato per 0.5
4 dB il rendimento va moltiplicato per 0.40

Anche di questo si deve tenere conto. Dato che un woofer in cassa chiusa non può avere rendimento superiore al 25%, se consideriamo 3dB di compressione il notro rendimento si riduce alla metà di 25% ovvero al 12.5% (massimo rendimento teorico). Per un reflex e solo poco di più.

Per concludere:

Se il rendimento è valutato secondo le definizioni, nessun sistema, di qualunque tipo e indipendentemente da chi o dove sia stato realizzato, non può presentare rendimento maggiore del 50%.
Se poi, di un sistema, si sfrutta solo una parte della potenza irradiata (cassa chiusa), allora il rendimento massimo teorico si riduce al 25%.
Se a uesto si aggiunge la compressione termica il renimento si riduce ancora (e non di poco).

Come riferimento questa volta indico un libro in italiano: Manuale di Acustica Applicata
A cura di Renato Spagnolo - UTET – 2001

[MarioBon]

Valutare il rendimento:
Se si valuta il rendimento ad una singola frequenza è possibile eseguire il calcolo riferendosi alla potenza di un Watt elettrico perchè è possibile calcolare la parte reale dell'impedenza elettrica e dimensionare opportunamente la tensione di pilotaggio. Se l'impedenza del sistema è purmente resistiva e indipendente dalla frequenza si può ottenere un Watt elettrico anche per uno stimolo a larga banda (un rumore rosa).
Ma se l'impedenza del sistema dipende dalla frequenza, si deve definire sia lo spettro dello stimolo che l'impedenza dell'altoparlante sulla stessa larghezza di banda dello stimolo usato.

Nelle misure di rendimento con stimoli a larga banda, il rendimento è condizionato dalla larghezza di banda della risposta.
Per esempio se lo stimolo fosse un rumore rosa (piatto) su tre decadi, ma il sistema ne riproducesse solo due, il rendimento risulterebbe ridotto di almeno di un terzo.
Si apre così una questione: a quale frequenza va misurato il rendimento? Oppure, se si vuole misurare il rendimento con un segnale a larga banda (rumore rosa) come si deve scegliere la larghezza di banda dello stimolo?
Fissiamo un criterio: il rendimento è utile se consente di confrontare le prestazioni di sistemi diversi.

Nell'esempio qui sopra si vedono le risposte dello stesso altoparlante nello stesso volume, in reflex, ma con due frequenze di accordo diverse. Supponiamo che il sistema sia perfettamente onmidirezionale anche a 1000Hz.
Se si valuta il rendimento:
- nella banda di frequenza segnata in verde (76.5-500 Hz) => rendimento nero > rosso
- a 1000Hz il rendimento rosso = nero.
- nella banda 20Hz a 500 Hz nero < rosso (*)
Questi sono tre risultati diversi. La scelta più utile (e sottolineo utile) sembrerebbe definire la banda passante di reale utilizzo (che per chi ascolta l'organo si estende da 16 Hz in su,
per chi ascolta solo i canti gregoriani da 80 Hz in su...).

Ne segue che la definizone delle condizioni al contorno è fondamentale nel valutare il risultato di questa come di qualsiasi altra misura. Le definizioni sono altrettanto importanti così si capisce di cosa si sta parlando.

(*) l'area racchiusa tra le curve rossa e nera sotto 76.5 Hz (dove si intersecano) è maggiore dell'area racchiusa dalle due curve tra 76.5 e 500 Hz.

[MarioBon]

Adesso forse sarà chiaro perchè è importante definire determinate grandezze ed in particolare il rendimento: se non si sta attenti, giocando con i numeri ed equivocando sulle definizioni, si può far credere di creare energia dal nulla.

Io le cose le ho speiegare così, se si leggono gli aricoli di Keele sull'argomento vi si ritovano gli stessi risultati.

[MarioBon]

E' necessario dire qualche cosa in più sulla misura della potenza acustica. Per prima cosa non è facile da misurare: la potenza esprime la quantità di lavoro svolto nell'unità di tempo, il lavoro è una variazione di energia e l'energia non è un osservabile (è il risultato di un calcolo).
La potenza a custica può essere misurata in camera anecoica o in camera riverberante.

Ma perchè insitere tanto sulla potenza acustica e sul rendimento? perchè c'è chi usa questi concetti per sostenere la superiorità dei propri prodotti. Ora è vero che ci sono sistemi con rendimento più alto di altri ma capita di leggere specifiche letteralmente fantascientifiche. In sostanza qualche furbetto la spara grossa per accalappiare clienti. E' quindi utile conoscere almeno quanto basta per non essere imbrogliati.

Anche nelle specifiche dichiarate si dovrebbero indicare le condizioni al contorno con una certa precisione. Prendiamo per esempio queste tre specifiche:
A) 97 dB/2.83Vrms/1m su mezzo spazio in condizioni (semi)anecoiche
B) 100 dB/4Vrms/1m su mezzo spazio in condizioni (semi)anecoiche
C) 120 dB a 5 metri in 250 metri cubi con T60=0.5 secondi con il diffusore alla confluenza di due pareti.
Questi 3 sistemi hanno tutti lo stesso rendimento del 3%. Ma se il T60 fosse di un secondo anzichè mezzo, i diffusori A e B produrrebbero 1.5 dB in più del sistema C (alla distanza di 4.46 metri sia per A,B e C). Il rendimento di C sarebbe 1.9% circa invece di 3%.

Dichiarare 120 dB a 5 metri fa più "impressione" e, non dicharando il T60 dell'ambiente, si può anche "mascherare" un rendimento non tanto alto.
Come conseguenza potrebbe anche essere i sistemi A e B (oltre a dichiarare un livello plausibile) suonassero anche più forte del sistema C.
Questo è il motivo per cui il rendimento va riferito allo spazio libero.

P.S. i calcoli, per chi fossee interessato, sono qui:
viewtopic.php?f=27&t=1350